Визначення геометричних характеристик полігональних фігур за координатами кутів

Вівторок - Січень 17, 2012 | Uncategorized

Для визначення геометричних характеристик перерізів, котрі можуть бути подані у вигляді багатокутників або ж інших полігональних фігур, утворених ламанам контуром, можна скористатись інтегралом Гріна у спрощеному поданні. Замість інтегрування доведеться лиш виконати прості дії - множення та суму координат кутових точок.

Площа:

$A=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}B_{k}$

Статичні моменти:

$S_{x}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{N}B_{k}\cdot C_{k}$
$S_{y}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{N}B_{k}\cdot D_{k}$

Моменти інерції:

$J_{x}=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{N}B_{k}\cdot\left(C_{k}^{2}-y_{k-1}\cdot y_{k}\right)$
$J_{y}=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{N}B_{k}\cdot\left(D_{k}^{2}-x_{k-1}\cdot x_{k}\right)$
$J_{xy}=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{N}B_{k}\cdot\left(D_{k}\cdot C_{k}-E_{k}\right)$

Вирази В_к, С_к, D_к та Е_к визначаються за наступними формулами:

$B_{k}=x_{k-1}\cdot y_{k}-x_{k}\cdot y_{k-1}$
$C_{k}=y_{k-1}+y_{k}$
$D_{k}=x_{k-1}+x_{k}$
$E_{k}=\frac{1}{2}(x_{k-1}\cdot y_{k}+x_{k}\cdot y_{k-1})$

Координати центру ваги перерізу:
$y_{c}=\frac{S_{x}}{A}$
$x_{c}=\frac{S_{y}}{A}$

Моменти інерції відносно центральних осей перерізу:

$J_{xc}=J_{x}-y_{c}^{2}\cdot A$
$J_{yc}=J_{y}-x_{c}^{2}\cdot A$
$J_{xyc}=J_{x}-x_{c}\cdot y_{c}\cdot A$

Таким чином можемо визначати як геометричні характеристики перерізів відносно довільних осей, так і центральні моменти інерції складного перерізу, представленого у вигляді декількох елементарних фігур. При обрахунку необхідно дотримуватись наступних правил:

нумерація внутрішніх кутових точок виконується проти ходу годинникової стрілки;
для врахування отворів вводиться фіктивний розріз нульової товщини;
нуменрація внутрішніх кутових точок відбувається за рухом годинникової стрілки;
для полігональної фігури, утвореної декількома елементарними, нумерація кутів приведена на малюнку.

0 Коментарів

Написати коментар